Logistyka.net.pl

Model czasu obsługi naziemnej statku powietrznego

Transport lotniczy, szeregi czasowe, eksploatacja, modelowanie

KIERZKOWSKI Artur

MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO
W referacie przedstawiono probabilistyczny model czasu obsługi naziemnej statku powietrznego w porcie lotniczym. Model ten zostanie zaimplementowany w symulacji komputerowej odzwierciedlającej proces eksploatacji statków powietrznych, którego zadaniem będzie minimalizacja czasu obsługi technicznej statków powietrznych.

MODEL FOR GROUNG HANDLING TIME OF AIRCRAFT
The paper presents probabilistic model time ground handling of aircraft. The model will be implemented in a komputer simulation process that reflects the operation of aircraft, whose task will be to minimize the time maintenence aircraft.

1. WSTĘP
Proces modelowania siatki połączeń przewoźnika lotniczego jest niezwykle skomplikowany. Z punktu widzenia pasażera lotniczego istotne jest terminowe wykonanie połączenia lub by czas opóźnienia był minimalny, a z punktu widzenia linii lotniczej istotne jest by koszty związane z wykonaniem połączenia były minimalne.
Kluczowe jest więc wcześniejsze zamodelowanie siatki połączeń oraz symulacyjne sprawdzenie poprawności jej funkcjonowania. Rysunek 1 przedstawia przykładowy cykl procesu użytkowania statku powietrznego.

Rys.1. Cykl procesu użytkowania statku powietrznego.
Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn
Wyb. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław, artur.kierzkowski@pwr.wroc.pl

Artur KIERZKOWSKI
W zaprezentowanym przykładzie procesu użytkowania statku powietrznego przewoźnik posiadający pojedyncze cykle (połączenia zamodelował sekwencje lotów składającą się z trzech rotacji.
W przypadku istnienia dokładnych danych z procesu eksploatacji statków powietrznych, agencji żeglugi powietrznej przydatne jest zbudowanie modelu czasu pomiędzy połączeniami (rys. 2).

Rys.2. Dwie rotacje statku powietrznego z oznaczeniem czasu obsługi naziemnej.
W celu dokładnego oszacowania czasu obsługi naziemnej, który wykonuje się w celu sprawdzenia poprawności rozkładowego planu lotów, zastosować można teorie szeregów czasowych.
Zagadnienie rozpatrywane było już w latach 70 XX wieku, kiedy to A. Levin sprecyzował zagadnienie problemu odpowiedniego modelowania połączeń lotniczych oraz rotacji statków powietrznych. Zagadnienie to zostało opisane w [1]. Podobnym zagadnieniem w latach 90 XX wieku zajmował się G. Desaulniers, który zaprezentował niezwykle ciekawy model dziennego harmonogramowania procesu eksploatacji statków powietrznych [2]. Model optymalizacji procesu eksploatacji uwzględniający konieczność wykonywania przeglądów technicznych zaprezentowany został przez Sriram C. oraz
Haghani A. w [3].
2. ANALIZA ORAZ MODELOWANIE SZEREGÓW CZASOWYCH
Istnieje wiele ogólnych modeli szeregów. Do najczęściej spotykanych zalicza się następujące trzy modele:

X t = mt + st + et
X t = m t ⋅ s t ⋅ et
X t = m t ⋅ s t + et gdzie
m t , s t , et :
mt - składowa trendu (deterministyczna funkcja trendu) st - składowa sezonowości (deterministyczna funkcja sezonowości) et - błąd losowy (proces stacjonarny o średniej zero)

MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO
Pierwszy model nazywa się modelem addytywnym, drugi multiplikatywnym, natomiast trzeci modelem mieszanym. Odpowiednia transformacja (Boxa-Coxa) umożliwia sprowadzenie modelu multiplikatywnego i mieszanego do modelu addytywnego. W modelach eksploatacji statków powietrznych najczęściej funkcja trendu jest wielomianem stopnia nie większego niż 1, natomiast sezonowość ma okres 1 roku. Zdarzają się jednak procesy mające wielkości inne niż wyżej wskazane. Taka sytuacja ma miejsce w przypadku procesów czasów opóźnienia statku powietrznego w porcie lotniczym gdzie sezonowość jest tygodniowa ponieważ zależy od natężenia ruchu w danym porcie lotniczym.
Procedura analizy i dopasowania jednowymiarowego szeregu czasowego składa się z następujących kroków:
1. Dokonuje się klasyfikacji szeregu czasowego na podstawie jego wykresu (czy jest addytywny czy multiplikatywny). Jeśli jest multiplikatywny sprowadza się go do postaci addytywnej, jeśli jest addytywny pozostawia się bez zmian.
Ponadto przeprowadza się wizualną analizę wykresu szeregu czasowego pod kątem istnienia funkcji trendu i funkcji sezonowej oraz ich ogólnej charakterystyki.
2. Dokonuje się estymacji funkcji trendu (po wcześniejszym sprowadzeniu
ˆ t i funkcji sezonowej sˆt (jeżeli istnieją). modelu do postaci addytywnej) m
Możliwe jest też usunięcie tych składowych metodą różnicowania. Po
ˆ t − sˆt . Proces ten estymacji tych funkcji tworzy się proces eˆt = et − m nazywany jest procesem residuów. Jeżeli prawidłowo została wykonana
ˆ t , sˆt , to proces eˆt jest stacjonarny, w innym przypadku estymacja funkcji m
zabieg estymacji funkcji trendu i sezonowości należy powtórzyć.
Mając proces residuów testuje się czy jest on ciągiem niezależnych jednakowo rozłożonych zmiennych losowych (IID - szumem) jedną z metod:
- sprawdzający czy wartość funkcji autokorelacji cząstkowej należy do przedziału

± 1,96 / n , gdzie n jest liczbą obserwacji h

- testem Junga-Boxa, gdzie wartość statystyki wynosi:

Q = n ⋅ ∑ ρˆ 2 ( j ) , j =1

ρˆ ( j )
jest funkcja autokorelacji cząstkowej. Jeżeli

Q>χ

1−α
(h) hipotezę że
proces residuów jest ciągiem niezależnych jednakowo rozłożonych zmiennych losowych (IID - szumem) odrzucamy w odwrotnym przypadku przyjmujemy ( χ1−α ( h) - jest kwantylem rozkładu chi kwadrat z h stopniami swobody).

- testem rang
- sprawdzając czy proces ma rozkład normalny.
Jeżeli nie odrzuca się hipotezy zerowej, tzn. że proces residuów jest ciągiem niezależnych jednakowo rozłożonych zmiennych losowych (IID- szumem), to przyjmuje się, że estymowany proces ma postać

Xˆ t = mˆ t + sˆt + eˆt , gdzie

{eˆt } jest IID - szumem. Należy jeszcze wyznaczyć jego wariancję.

Artur KIERZKOWSKI
Jeżeli proces residuów nie pochodzi z IID - szumu to dopasowuje się do niego proces stacjonarny typu AR(p) - autoregresji rzędu p, lub proces MA(q) średniej ruchomej rzędu q, lub proces ARMA(p,q) - proces mieszany autoregresji i średniej ruchomej rzędu p i q odpowiednio. Metoda dopasowania tych procesów do danych jest opisana w rozdziale 5 [4]. Metoda dopasowania procesu do danych jest wielostopniowa. Końcowym etapem jest dopasowanie procesu do danych metodą największej wiarygodności. Jakość dopasowania procesu charakteryzowana jest przez wiele wskaźników. Jednym z nich jest wskaźnik AICC (rozdział 5.5. [4]). Im mniejszy jest ten wskaźnik tym lepszy jest stopień dopasowania procesu do danych.
Po dopasowaniu procesu do danych ponownie dokonuje się testowania residuów zgodnie z metodami zawartymi w rozdziale 1.6 [4]. Jeżeli proces residuów nie pochodzi z białego szumu, to znaczy że źle zostały
ˆ t , sˆt lub niepoprawnie został dobrany jeden z procesów wyestymowane m
AR(p), MA(q), ARMA (p,q). Wtedy procedurę dopasowania szeregu czasowego należy powtórzyć.

3. MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO
Istotnym elementem odwzorowania procesu eksploatacji statku powietrznego jest stworzenie modelu czasu obsługi naziemnej i postoju w transporcie lotniczym. Zagadnienie to można rozpatrywać na kilka sposobów. Pierwszym jest analiza przyczyn powstania zakłóceń w ruchu oraz wyznaczenie modelu z uwzględnieniem możliwych zdarzeń oraz skutków. Opóźnienie statku powietrznego w porcie lotniczym może być spowodowane kilkoma czynnikami:
- dłuższym czasem wykonania obsługi naziemnej
- brakiem możliwości wykonania procedury startowej w porcie lotniczym
- brakiem możliwości wykonania procedury podejścia do lądowania
- brakiem wolnej przestrzeni powietrznej koniecznej do wykonania połączenia lotniczego.
Drugim ze sposobów jest estymacja szeregu czasowego, który w swojej naturze będzie zawierał wszystkie możliwe przyczyny powstania zakłóceń natomiast dostarczał nam informacje dotyczące oczekiwanego czasu pomiędzy połączeniami lotniczymi.
Kolejnym sposobem określenia czasu pomiędzy połączeniami lotniczymi jest wyznaczenie funkcji gęstości prawdopodobieństwa na podstawie historycznych danych.
3.1 Model czasu obsługi naziemnej statku powietrznego z wykorzystaniem teorii szeregów czasowych
Rysunek 3 przedstawia czas pomiędzy połączeniami lotniczymi, gdy statek powietrzny przylatuje z portu A i odlatuje do portu B. Dane te zostały zgromadzone w czasie jednego okresu istnienia letniej siatki połączeń przewoźnika lotniczego. Przewoźnik wykonywał połączenia na danej trasie raz dziennie, każdego dnia tygodnia.

MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO
Rys. 3 Wykres czasu pomiędzy połączeniami lotniczymi dla połączenia z portu A do B.
Funkcja trendu dla takiego procesu będzie miała postać:
mˆ t = −0,00083396t + 0,47567 i została ona wyznaczona zgodnie z procedurami przedstawionymi w rozdziale 1.5 [4].
Rysunek 4 przedstawia zmodyfikowany proces liczby przewiezionych pasażerów z
ˆ t ) + s t + et usuniętym trendem X t = ( mt − m

Rys. 4. Zmodyfikowany proces liczby przewiezionych pasażerów z usuniętym trendem.
Funkcji autokorelacji cząstkowej procesu na rysunku 5.

X t = (mt − mˆ t ) + st + et jest przedstawiona

1624

Rys. 5. Funkcja autokorelacji cząstkowej dla procesu

Artur KIERZKOWSKI

X t = (mt − mˆ t ) + st + et .

Z wykresu funkcji autokorelacji cząstkowej wynika, że proces posiada wyraźną składową sezonową o okresie równym 7. W transporcie lotniczym jest to dość naturalne zjawisko ponieważ siatka połączeń powtarza się cyklicznie co tydzień.
Wyestymowana funkcja sezonowa została przedstawiona na rysunku 6.

Rys. 6 Wyestymowana funkcja sezonowa.

MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO
Wykres funkcji autokorelacji dla danych procesu
X t = (mt − mˆ t ) + ( s t − sˆt ) + et został
przedstawiony na rysunku 7.

Rys. 7. Funkcja autokorelacji procesu X t = (mt − mˆ t ) + ( st − sˆt ) + et .
Wartość statystyki dla testu Ljunga Boxa wynosi Q LB = 12,694 , natomiast prawdopodobieństwo że jest to ciąg niezależnych zmiennych losowych wynosi 0,89. Proces ten, zakładając 90% poziom prawdopodobieństwa, nie jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych.
Proces ten nie jest białym szumem więc dopasowuje się do niego jeden z procesów AR(p), MA(q), ARMA(p,q). Procedurę te wykonuje się zgodnie z rozdziałem 5.2. [1]. X(t) = .07528 X(t-1) + .01150 X(t-2)
Proces najlepiej dopasowany do danych (zgodnie z kryterium AICC) to proces AR(2)
X t = −0,07528 X t −1 + 0,1150 X t −1 + Z t . Residua procesu przedstawione są na rysunku 8.

Rys. 8. Residua procesu X t = −0,07528 X t −1 + 0,1150 X t −1 + Z t .

1626
Wartość funkcji autokorelacji dla procesu

Artur KIERZKOWSKI

X t = −0,07528X t −1 + 0,1150X t −1 + Z t została
przedstawiona na rysunku 9.

Rys. 9 Funkcja autokorelacji procesu X t = −0,07528 X t −1 + 0,1150 X t −1 + Z t
Wartość statystyki dla testu Ljunga Boxa wynosi Q LB = 10,923 , natomiast prawdopodobieństwo że jest to ciąg niezależnych zmiennych losowych wynosi 0,94819.
Proces ten więc jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych.
3.2. Weryfikacja modelu szeregu czasowego czasu obsługi naziemnej
Dane zgromadzone na potrzeby modelu czasu pomiędzy połączeniami lotniczymi pochodziły z roku 2008. Weryfikacja tych danych wykonana zostanie za pomocą testu Chikwadrat porównując prognozowane wyniki (z modelu) z danymi rzeczywistymi uzyskanymi w 2009 roku. (rysunek 10)

Rys. 10 Porównanie prognozowanych danych z modelu z danymi rzeczywistymi

MODEL CZASU OBSŁUGI NAZIEMNEJ STATKU POWIETRZNEGO
Jak można zauważyć na rysunku stopien zbieżności dla pierwszych 30 obserwacji jest bardzo wysoki, podobna sytuacja ma miejsce dla całego rozpatrywanego okresu. Dla poziomu istotności α=0,95 test zgodności Chi-kwadrat wykazuje że model posiada odpowiednie parametry.
4. WNIOSKI
Zaprezentowany model będzie jednym z części modelu eksploatacji statków powietrznych. Celem referatu było wskazanie słuszności użycia modelu szeregu czasowego dla rozpatrywanego problemu.
Dalsze prace prowadzone będą w kierunku budowy programu komputerowego będącego integralną częścią zaproponowanego modelu szeregu czasowego. Przy zadanych parametrach operacyjnych portów lotniczych: dostępna przepustowość w danych przedziałach czasu, prawdopodobieństwo powstania zakłóceń ruchu w porcie lotniczym, jak również w strefach dolotowych lotnisk wynikających ze względów operacyjnych lub pogodowych, możliwe będzie przeprowadzenie symulacji procesu eksploatacji. Symulacja ta umożliwi wyznaczenie chwil powstawania zakłóceń. Użycie aplikacji umożliwi weryfikacje planowanej siatki połączeń umożliwiając minimalizację pojawienia się zakłóceń przy jednoczesnej maksymalizacji popytu na usługi lotnicze.

Do powstania artykułu przyczynił się udział w Projekcie „Przedsiębiorczy doktorant- inwestycja w innowacyjny rozwój regionu”. Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego funduszu społecznego.
5. BIBLIOGRAFIA
[1] Levin A., 1971. Scheduling and fleet routing models for transportation system.
Transportation Science 5, 232-255.
[2] Desaulniers. G., 1997. Daily aircraft routing and scheduling. Management Science 43, [3] Sriram C., Haghani A., 2003. An optimization model for aircraft maintenance scheduling and re-assignment. Transportation Research Part A 37, 29-48.
[4] Peter J. Brockwell, Richard A. Davis „Introduction to Time Series and Forecasting”, Springer, 1996.